Considere a seguinte matriz ampliada de um sistema de equações lineares. Quais as condições que a e b devem satisfazer pra que o sistema tenha infinitas soluções? Neste caso, qual o grau de liberdade do sistema?

1 0 2 3 4 - 2 6 8 2 3 7 12 - 1 3 a b

Passo 1

Bom, vamos começar escalonando isso aí!

1 0 2 3 4 - 2 6 8 2 3 7 12 - 1 3 a b → L 2 ← L 2 - 4 L 1 L 3 ← L 3 - 2 L 1 L 4 ← L 4 + L 1 1 0 2 3 0 - 2 - 2 - 4 0 3 3 6 0 3 a + 2 b + 3 → L 2 ← L 2 2 1 0 2 3 0 - 1 - 1 - 2 0 3 3 6 0 3 a + 2 b + 3 → L 3 ← L 3 + 3 L 2 L 4 ← L 4 + 3 L 2 1 0 2 3 0 - 1 - 1 - 2 0 0 0 0 0 0 a - 1 b - 3

Se passarmos essa matriz aumentada para a forma de sistema:

x + 2 z = 3 - y - z = - 2 a - 1 z = b - 3

A princípio temos 3 equações e 3 variáveis. Para que o sistema tenha infinitas soluções precisamos ter mais variáveis que equações! Logo, precisamos zerar uma das equações. E o único jeito de fazermos isso é com a = 1 e b = 3 . Nesse caso teremos:

x + 2 z = 3 - y - z = - 2

Temos 2 equações e 3 variáveis, logo, 1 variável livre. Então o grau de liberdade do sistema é 1 .

Resposta

a = 1 ; b = 3 . O grau de liberdade do sistema é 1 .

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22