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Exercícios Resolvidos de Resolvendo Sistemas Lineares

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Enunciado

Qual é a solução geral do sistema abaixo?

1 x 1 + 4 x 2 + 0 x 3 - 1 x 4 = 7 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 + 2 x 4 = 5

Obs: abaixo, s e t são parâmetros reais.

(a) 7,0 , 5,0 + s - 2,0 , 4 , - 2 + t 1,0 , - 2,1

(b) 7,0 , 5,0 + s 1,2 , 1,0 + t - 3,1 , - 2,1

(c) 3,1 , 5,0 + s - 4,1 , 0,0 + t 1,0 , - 2,1

(d) 3,1 , 5,0 + s 1,2 , 1,0 + t ( - 3,1 , - 2,1 )

Passo 1

Da primeira equação, conseguimos escrever x 1 em função de x 2   e x 4 assim:

x 1 = 7 - 4 x 2 + x 4

Da segunda equação, escrevemos x 3 em função de x 4 :

x 3 = 5 - 2 x 4

Passo 2

O vetor solução ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) vai ficar então:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 7 - 4 x 2 + x 4 , x 2 , 5 - 2 x 4 ,   x 4

Agora separando o que não tem x , o que tem x 2 e o que tem x 4

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 7,0 , 5,0 + - 4 x 2 , x 2 , 0,0 + x 4 , 0 , - 2 x 4 , x 4

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 7,0 , 5,0 +   x 2 - 4,1 , 0,0 + x 4 ( 1,0 , - 2,1 )

Como x 2 e x 4 são parâmetros reais, podemos trocar por s e t pra ficar mais parecido com os itens do enunciado:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 7,0 , 5,0 +   s - 4,1 , 0,0 + t ( 1,0 , - 2,1 )

Mesmo assim essa resposta não está nas alternativas! A que mais se parece é alternativa (c).

E agora???

Pode ser que o ponto de fora que o enunciado escolheu não seja o mesmo! Se a gente subtrair os vetores que não tem x 2 ou x 4

7,0 , 5,0 - 3,1 , 5,0 = 4 , - 1,0 , 0

Pow! Esse cara aí é exatamente o que tá multiplicando o nosso s com um sinal negativo! Aí a gente pode fazer o seguinte:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 7,0 , 5,0 +   s - 4,1 , 0,0 + t 1,0 , - 2,1

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 3,1 , 50 + 4 , - 1,0 , 0 +   s - 4,1 , 0,0 + t 1,0 , - 2,1

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = ( 3,1 , 50 ) + ( s - 1 ) - 4,1 , 0,0 + t 1,0 , - 2,1

E como esse s ∈ R , então s - 1 ∈ R também! Então tanto faz ter s ou ( s - 1 ) lá!

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 3,1 , 5,0 +   s - 4,1 , 0,0 + t ( 1,0 , - 2,1 )

E a resposta está na letra (c)!

Resposta

(c) 3,1 , 5,0 + s - 4,1 , 0,0 + t 1,0 , - 2,1

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22