UFES. Álgebra Linear. Prova: P1 Tarde. 2017.2. Questão: 1.
Considere o sistema de equações lineares
Onde é um número real.
(a) Obtenha uma forma escalonada para a matriz aumentada do sistema acima.
(b) Com base na matriz obtida no item (a), determine para quais valores de o sistema não admite solução, para quais admite uma única solução, e para quais valores admite infinitas soluções.
(c) Determine as soluções do sistema no caso em que e as escreva na forma vetorial paramétrica.
Passo 1
Iae, meus queridos! Tudo certinho?
Para iniciar essa questão temos que saber converter sistema de equações para matrizes. Cada valor associado às incógnitas , e correspondem a uma coluna da matriz em sua respectiva linha e os termos do lado direito da equação correspondem a última coluna da matriz.
A partir da matriz obtida vamos escalona-la na forma reduzida para obter os valores de , e , assim vamos analisar os resultados para obter os possíveis valores para onde o sistema não admite solução, para quais admite uma única solução e para quais valores de o sistema admite infinitas soluções.
Por fim, vamos pegar os valores da incógnita , e , substituir e escrever o resultado na forma vetorial paramétrica.
Entendeu? Bora lá!
Passo 2
No item a), vamos escalonar a matriz correspondente às equações lineares
No caso
Bora lá! Mão na massa
Vamos usar esta matriz mais tarde.
Nesta última etapa, simplificamos o coeficiente associado à variável para facilitar nossos cálculos.
ou
Encontramos a nossa matriz escalonada do sistema de equações!
Passo 3
No item b) vemos que se , o sistema se torna impossível já que os denominadores da última coluna vão zerar.
Na matriz , marcada anteriormente, vamos usar a ultima linha para zerar os dois valores: e . Para um sistema admitir infinitas soluções, o número de equações deve ser maior que o número de incógnitas, ou seja, temos que buscar um valor que faça as duas equações da terceira linha zerarem.
Na equação , as raízes que zeram ela são e , na equação sua raiz é apenas , ou seja, é o único valor que zera as duas equações, então para este valor, o sistema possui infinitas soluções.
Para exemplificar, a matriz terá a seguinte cara
Por fim, para o sistema ter apenas uma solução, podemos dizer que o conjunto dos números reais, com exceção de e , atende nossos parâmetros, em que vimos
Passo 4
No item c), para representar a forma vetorial paramétrica para quando , temos
Ou seja, convertendo estes valores para sua forma de equações, temos
Para ficar uma resposta mais bonita, pra impressionar seu(sua) professor(a) podemos escrever como
Que coisa mais linda! 😍
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
A) ou
B) Sistema Impossível:
Sistema Possível e Indeterminado:
Para o sistema ter apenas uma solução, podemos dizer que , com exceção de e
C)