{ s ( − 3 ,   0 ,   3 )   +   t ( 0 ,   − 2 ,   3 ) ,   s ,   t   ∈   R } pode ser descrito como o conjunto das triplas ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3   tais que:

(A)   − 3   x   −   6   y   −   3   z   =   0 .

(B) − 3   x   −   6   y   −   3   z   =   0

(C)   − 5   x   −   8   y   −   5   z   =   0 .

(D) − 6   x   −   9   y   −   6   z   =   0 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez descrever o conjunto   { s ( − 3 ,   0 ,   3 )   +   t ( 0 ,   − 2 ,   3 ) ,   s ,   t   ∈   R } como uma equação nas coordenadas dos vetores.

E aí, como fazemos isso? Bem note que qualquer ponto desse plano é definido como

  { ( − 3 s , - 2 t ,   3 s + 3 t ) ,   s ,   t   ∈   R }

Logo só precisamos substituir esses valores de x , y   e   z nas equações disponibilizadas nas alternativas e verificar onde a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Começando pela primeira equação

− 3   x   −   6   y   ���   3   z   =   0

Como os pontos do plano são ( − 3 s , - 2 t ,   3 s + 3 t ) , vamos substituir. Fazendo isso temos:

  9 s + 12 t - 9 s - 9 t   =   0

⇒ 3 t = 0

Note que essa igualdade não é verdadeira para todo t , logo existem pontos do plano que não satisfazem a equação na alternativa a )

Passo 3

Vamos checar a quarta equação

− 6   x   −   9   y   −   6   z   =   0

o os pontos do plano são ( − 3 s , - 2 t ,   3 s + 3 t ) , vamos substituir. Fazendo isso temos:

  18 s + 18 t - 18 s - 18 t   =   0

⇒ 0 = 0

Ou seja, chegamos a uma igualdade que é sempre verdadeira, independentemente de s ,   e   t . Logo essa expressão é válida para todos os pontos do plano. Ela descreve o plano.

Dessa forma, podemos concluir que a alternativa correta é a letra d )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

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