UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P1 - 2023.1, Questão 4
4) Mostre que a série
É condicionalmente convergente.
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema, temos que mostrar que a série dada por
Converge.
Sabe como fazemos isso? 🤔
A primeira coisa que nos salta aos olhos quando vemos essa série é o termo .
Esse termo indica que essa série muda de sinal dependendo do valor de e chamamos esse tipo de série de Série Alternada, que é dada genericamente como
Para verificar a convergência desse tipo de serie, temos que aplicar o teste das séries alternadas.
Lembra como aplicamos esse teste? 👀
Passo 2
Para aplicar esse teste, vamos ignorar o termo que alterna o sinal, ou seja, vamos olhar para o módulo da série.
Esse teste nos diz que se converge e , então a série é absolutamente convergente.
Mas se diverge e , então a série é condicionalmente convergente.
E por fim, se , então a série diverge.
Sacou? Bora começar!
No nosso caso, é dado por
Temos que provar que essa série é condicionalmente convergente, então podemos afirmar que o limite de é igual a .
O que não é difícil de provar já que o polinômio do denominador tem grau maior que o polinômio do numerador.
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Agora precisamos mostrar que diverge.
Podemos usar um teste muito poderoso que é o teste da comparação do limite.
Esse teste consiste em calcular o limite
Onde é uma série que tem a convergência conhecida. Assim, se for um número finito diferente de e diferente de , então e tem o mesmo comportamento.o segredo é usar uma série bem simples, por exemplo, uma série harmônica
Sabemos que as series harmônicas sempre divergem, então substituindo no limite...
Dividindo tudo por
Assim, vemos que e tem o mesmo comportamento, logo, se diverge, também diverge!
E a série alternada dada no enunciado é classificada como condicionalmente convergente!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Condicionalmente convergente.