(b) Ache os pontos dos parâmetros A e B para que a função seja continua em , onde é definida por
Passo 1
Para que a função seja contínua, precisamos:
Para que o limite exista, precisamos que os limites laterais sejam iguais e, portanto:
Para valores menores que (à esquerda de ), temos :
Então:
Para calcular esse limite, vamos escrever o polinômio de segundo grau do numerador como o produto de suas raízes. Para acha-las usamos ele mesmo, Bhaskara!
Distribuindo na raiz, temos:
Considerando e substituindo, temos:
Considerando e substituindo, temos:
As raízes são iguais, então independentemente do valor de , podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Opa! Dá para cortar numerador e denominador agora!
Isolando nosso amigo :
Passo 2
Ainda não acabou, precisamos achar o valor de . Para (à direita de ):
E, portanto:
Temos que:
Resta calcular o limite da esquerda...
Hummm... Temos aí uma indeterminação dentro do argumento do seno, então podemos tentar usar o teorema do confronto aqui.
Independentemente do que acontece no argumento, sempre temos que:
Vamos tentar transformar essas inequações na expressão do nosso limite. Para isso, multiplicamos tudo por :
Aplicando o limite:
Então, calculando os limites à esquerda e direita:
Então, pelo Teorema do confronto ou sanduiche, temos que:
Logo, o nosso limite vai ser:
Onde aqueles três pontinhos bonitos significam “portanto” para os íntimos.