Verifique se a função f abaixo é contínua no ponto a indicado

s i n ( x ) x ,   s e   x < 0

t g ( x ) x   s e   x > 0

1   s e   x = 0

onde a = 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa é boa, vamos revisar o limite fundamental trigonométrico. Nosso objetivo é verificar se a função

s i n ( x ) x ,   s e   x < 0

t g ( x ) x   s e   x > 0

1   s e   x = 0

é contínua no ponto a = 0

Mas vocês lembram a definição de uma função ser contínua? Vamos revisar

Dizemos que uma função é contínua em um ponto x = a se

l i m x → a f ( x ) = f ( a )

Isto é, o valor da função no ponto é igual ao valor do limite naquele ponto. Mas antes de verificarmos se a função é contínua, vamos relembrar o limite fundamental trigonométrico. Ele diz que

l i m x → 0 s i n ( x ) x = 1

Com isso em mente, vamos verificar se a nossa função é contínua

Passo 2

Queremos ver se a função abaixo é contínua no ponto x = 0

s i n ( x ) x ,   s e   x < 0

t g ( x ) x   s e   x > 0

1   s e   x = 0

Como falamos no passo 1, para ela ser contínua precisamos que

l i m x → 0 f ( x ) = f ( 0 )

Vamos calcular o limite primeiro. Para isso, precisamos dos limites laterais no ponto x = 0

Como para x > 0 nossa f ( x ) = t g ( x ) x temos

l i m x → 0 + f ( x ) = l i m x → 0 + t g ( x ) x

= l i m x → 0 + s i n ( x ) x * 1 c o s ( x )

usando o limite fundamental, que revisamos no passo 1, e a linearidade do limite, temos que

= 1

E o outro limite é:

l i m x → 0 - f ( x ) = l i m x → 0 - s i n ( x ) x

pois para x < 0 nossa f ( x ) = s i n ( x ) x . Mas esse é o limite fundamental trigonométrico, então

l i m x → 0 - s i n ( x ) x = 1

Ou seja, chegamos a conclusão que os limites laterais são iguais. Logo o limite no ponto x = 0 está bem definido e vale

l i m x → 0 f ( x ) = l i m x → 0 - f ( x )

= 1

E temos que

f ( 0 ) = 1

Dessa forma, conseguimos mostrar que o limite da função no ponto x = 0 é igual ao valor da função naquele ponto. Isso implica que f é CONTÍNUA.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c o n t í n u a

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )