UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 4.1a
Discuta a continuidade de :
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente discutir a continuidade da função que é definida por partes. E, galera, a continuidade pra funções de variáveis não tem nenhuma grande novidade em relçao à continuidade nas funções de uma variável.
Dizemos que uma função é contínua em um ponto se o limite for igual ao valor da função naquele ponto, ou seja:
Então, o que vamos fazer é calcular o limite no lugar onde a função tem uma indeterminação, que no caso é o ponto , e verificar se o resultado do limite é o mesmo da função naquele ponto.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o limite de , para , tendendo ao ponto :
Pra calcular esse limites vamos recorrer as coordenadas polares, chamando:
Substituindo na função:
Elevando o denominador ao quadrado:
Colocando em evidência e usando a identidade trigonométrica , temos:
Simplificando:
Assim, quando tende a zero, temos:
Além disso, a definição da nossa função nos diz que quando , temos . Então, . Portanto, nossa função é contínua no ponto e em todo domínio.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉