UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP - Lista 3 - Limite e Continuidade. Questão 34
Sabe-se que é contínua em e que . Mostre que existe tal que para todo
.
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Nos é indicada uma função contínua em , tal que . Precisamos mostrar que para um , para qualquer valor no domínio da função, , a seguinte relação é verdade
.
O lado esquerdo da afirmação acima está relacionado à definição formal de continuidade, mas isso nos implica algumas coisas a mais! Saca só!
Passo 2
Note que a definição formal de continuidade garante que se existe tal que ao redor de um ponto em que a função é contínua, em nosso caso , podemos garantir que
Mas, esta necessidade nos garante que existe um , tal que quando avaliamos a função, obtemos
válido porque estamos avaliando as proximidades de . Usando o valor dado para , temos que
como a expressão vale para qualquer valor de , temos que no caso , obtemos
ou seja, existe , tal que
Note que não é preciso mostrar que é sempre maior que , apenas que sob uma escolha de existirá a possibilidade! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!