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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Continuidade

( b ) Verifique se a função

f x = x 2 - 2 x + 1 x 2 - 3 x + 2 + 2 x - 1 cos ⁡ x - 1 ,                       s e   x ≠ 1 1 ,                                                                                                                                                         s e   x = 1

É contínua em x = 1 . Justifique.

Passo 1

Para que haja a continuidade em x = 1 devemos ter

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f 1 = 1

Ou seja, queremos descobrir se lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 1 .

Passo 2

Vamos agora propriamente calculá-lo e ver se de fato o limite valerá 1 :

lim x → 1 ⁡ f x = lim x → 1 ⁡ x 2 - 2 x + 1 x 2 - 3 x + 2 + 2 x - 1 cos ⁡ x - 1

Vou dar uma rearranjada no que temos aí:

= lim x → 1 ⁡ x - 1 2 ( x - 1 ) ( x - 2 ) + 2 x - 1 cos ⁡ x - 1

Reparou que tem muito ( x - 1 ) ali no meio? Vou fazer uma substituição para simplificar esse cara:

u = x - 1

x → 1   ;   u = 1 - 1 = 0   ; u → 0

Então vamos substituir tudo por u :

lim u → 0 ⁡ u 2 u u - 1 + 2 u cos ⁡ u

= lim u → 0 ⁡ | u | u u - 1 + 2 u cos ⁡ u

Temos um módulo ali, ele vai influenciar no caso da aproximação ser por u → 0 + ou u → 0 - . Vamos dividir esse limite em dois limites laterais então.

Passo 3

Primeiro vamos calcular a aproximação por valores maiores que 0 , onde | u | = u :

lim u → 0 + ⁡ u u u - 1 + 2 u cos ⁡ u

= lim u → 0 + ⁡ 1 u - 1 + 2 cos ⁡ u

= 1 0 - 1 + 2 cos ⁡ 0

= 1 - 1 + 2

= 1

Ótimo, agora se o outro for 1 saberemos que a função é contínua.

Passo 4

Vamos calculá-lo, lembrando que quando nos aproximamos por u → 0 - temos u = - u :

lim u → 0 - ⁡ - u u u - 1 + 2 u cos ⁡ u

= lim u → 0 - ⁡ - 1 u - 1 + 2 cos ⁡ u

= - 1 0 - 1 + 2 cos ⁡ 0

= - 1 - 1 + 2

= - 1

Problema aí! Como o limite lateral deu diferente do outro percebemos que não existe continuidade em x = 1 .

Resposta

A   f u n ç ã o   n ã o   é   c o n t í n u a   e m   x = 1

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )