UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 4.1d
Discuta a continuidade de :
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente discutir a continuidade da função que é definida por partes. E, galera, a continuidade pra funções de variáveis não tem nenhuma grande novidade em relçao à continuidade nas funções de uma variável.
Dizemos que uma função é contínua em um ponto se o limite for igual ao valor da função naquele ponto, ou seja:
Então, o que vamos fazer é calcular o limite no lugar onde a função tem uma indeterminação, que no caso é o ponto , e verificar se o limite existe e seu resultado é o mesmo da função naquele ponto.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche para verificar o limite.
Observe que
Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema. Colocando a expressão entre extremos:
Se :
Dividindo por :
Se :
Dividindo por :
Juntando as duas desigualdades:
Passo 3
Agora vamos multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:
Temos que multiplicar por :
Se :
Se , temos exatamente a mesma coisa, pois os extremos são iguais!
Calculando os limites dos extremos:
Substituindo na desigualdade:
Logo:
Como na definição da função quando , temos , então, . Assim, podemos dizer que a função é contínua em .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉