UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 7a
Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto
a)
Passo 1
Fala aí povo bonito, tudo tranquilo?
Nessa questão nos é dada uma função, de duas variáveis, definida por partes da seguinte forma:
O enunciado nos pede pra verificar se a função é contínua no ponto .
Vocês lembram como verificamos continuidade de uma função em certo ponto?
O conceito é bem parecido com o que fizemos nas funções de apenas uma variável. Precisamos verificar se:
Então, é isso que vamos fazer aqui! Vamos calcular o e e verificar se eles são iguais!
Passo 2
Vamos começar calculando:
Vimos que é definida por parte da seguinte forma:
Como queremos calcular o limite da função quando ela está tendendo a , a lei que rege a função nesses pontos é:
Assim:
Muito bom! Nossa missão então é calcular:
A primeira etapa quando vamos calcular um limite é substituir os valores que e estão tendendo. Se não ocorrer nenhuma indeterminação matemática, já temos o nosso resultado.
Fazendo isso, temos:
Não ocorreu nenhuma indeterminação matemática, logo a gente pode concluir que:
Perfeito!
Passo 3
Agora vamos verificar o valor da nossa função no ponto .
Como , temos que a função assumirá o valor:
Portanto:
Ou seja galera, como encontramos:
Podemos concluir que a função é contínua em !
Resposta
É contínua.