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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Seja f : I R → I R uma função e suponha que para todo x ≠ 0 tenhamos

cos ⁡ x - 1 ≤ f x ≤ x 4 + x 2                     1

(a) Calcule o limite lim x → 0 ⁡ f x

(b) Mostre que se f for contínua então f 0 = 0

(c) Dê um exemplo de uma função contínua satisfazendo 1

Passo 1

Eita, parece meio complicado calcular o limite de uma função que a gente nem sabe a cara, não é mesmo? Por sorte, nem precisamos nos esquentar com isso, porque segundo o Teorema do Confronto, se:

cos ⁡ x - 1 ≤ f x ≤ x 4 + x 2

Então vale:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 4 + x 2

cos ⁡ 0 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0 4 + 0 2

1 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0

E prontinho! Se meu limite está entre zero e zero então não tem jeito, ele é zero!

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Passo 2

Agora, pra uma função ser contínua, tem que ser verdade pra qualquer x = a escolhido a seguinte igualdade:

f a = lim x → a ⁡ f x

Escolhendo a = 0 , temos:

f 0 = lim x → 0 ⁡ f x

E opa! O limite a gente já calculou! Substituindo:

f 0 = 0

Então taí provado! Pra fechar a questão basta a gente responder a c que pede um exemplo de f x que satisfaça a inequação 1 . Parece complicado pensar numa, né não? Mas relxa, porque como os símbolos são de maior/menor ou igual, pra responder a c basta escolher:

f x = cos ⁡ x - 1               o u               f x = x 4 + x 2

Resposta

a )   lim x → 0 ⁡ f x = 0

b )   D e m o n s t r a d o   n o   P a s s o   2

c )   f x = cos ⁡ x - 1               o u               f x = x 4 + x 2

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )