3. Seja f: R → R uma função contínua tal que f(0) = f(2) e defina g: R → R por g(x) = f(x) - f(x - 1)

  1. Mostre que g é continua
  2. Mostre que g(1) + g(2) = 0
  3. Mostre que existe a ∈ [1, 2] tal que f(a) = f(a - 1)

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui, primeiro nós temos que mostrar que g é continua para todo número real.
  2. Mas repara que g é funçã de f . Pois o enunciado nos deu essa informação,

    g x = f x - f x - 1

    Como ele também disse que f é continua, temos g é continua, pois quando combinamos (multiplicando ou somando) funções continuas, teremos como resultado outras funções continuas.

    Passo 2

  3. Agora temos que mostrar que g 1 + g 2 = 0
  4. E para isso vamos usar a definição de g x dada pela enunciado,

    g x = f x - f x - 1

    Substituindo 1 e 2 , ficamos com

    g 1 + g 2 = f 1 - f 1 - 1 + f 2 - f 2 - 1

    = f 1 - f 0 + f 2 - f 1

    = f 2 - f 0

    Mas repara que o enunciado também disse que f 0 = f 2 . Logo

    g 1 + g 2 = f 2 - f 0 = 0

    Prontinho! Conseguimos provar!

    Passo 3

  5. Agora temos que mostrar que existe a ∈ [ 1,2 ] tal que f a = f a - 1 . Para isso, podemos buscar uma função continua que satisfaça essa condição neste intervalo.

Por exemplo, se f x = c o n s t a n t e entre [ 1,2 ] , existe um a tal que f a = f a - 1 neste intervalo.

Prontinho!

Resposta

Na resolução!

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