Calcule os seguintes limites (não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

c lim x → 0 ⁡ f x , onde

f x = sen ⁡ x x + sen ⁡ x ,       s e   x ≠ 0 0 ,       s e   x = 0

A função f é contínua em x = 0 ? (Justifique!)

Passo 1

Para que função f x seja contínua em x = 0 , temos que validar a continuidade dessa função:

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x + sen ⁡ x = 0

Vamos calcular o limite que apareceu e ver se ele vai para 0 .

Passo 2

Substituindo o limite, nós teremos:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x + sen ⁡ x = 0 0 + 0 = 0 0

Precisamos fugir dessa indeterminação. Pra isso, podemos dividir o termo em cima e embaixo por x . Isso vai fazer surgir o limite fundamental trigonométrico:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x + sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 1 x x + sen ⁡ x 1 x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 1 + sen ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 1 + lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x

Passo 3

Como a gente sabe, esse limite vale:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Logo,

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 1 + lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1 1 + 1 = 1 2

Como a gente vê, o limite não deu 0 , então a função não é contínua em x = 0 .

Resposta

N ã o ,   p o i s   lim x → 0 ⁡ f x ≠ f 0

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