UFF, Cálculo IA-Lista 4, GMA, 2008-1, Questão 11
Seja definida por
a) A função está definida em ? Justifique
b) Dê os pontos onde é contínua. Justifique
c) Dê os pontos é descontínua. Justifique
d) A função é contínua em ? Justifique
Passo 1
Começando com a letra .
Como a função tem como expressões duas constantes e uma função racional, os únicos pontos de restrições do domínio são quando o denominador zera, que ocorre em e em .
Nesses pontos, porém, a expressão é e , respectivamente. Assim, a função é definida em .
Passo 2
Para a letra e . Vamos ver agora se a função é contínua. Para que seja, precisamos que:
E:
Vamos ver a primeira igualdade.
Sendo que:
E, portanto:
E a função não é contínua nesse ponto.
Para a segunda igualdade, vamos calcular o limite:
E:
Como:
A função é contínua para esse ponto. A função será contínua em todos os outros pontos, pois as expressões são duas constantes e uma função racional na qual já tratamos dos pontos de restrição. Essas funções são sempre contínuas para seus domínios.
Passo 3
Para a letra , concluímos que a função é descontínua, uma vez que tem um ponto de descontinuidade em .
Resposta
- Sim, é definida em
- Contínua para todos os pontos diferentes de
- Descontínua em
- É descontínua.