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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2020, VE1, Q2A

  1. Determine, caso possível, as constantes a ,   b ∈ R tais que f ( x ) seja contínua em x = 0 .

    2. f x = x + a 2 - 4 a - arctan ⁡ 11 x ,       x < 0 a - 1 ,                                         x = 0 sin ⁡ b x ln ⁡ 1 + 100 x ,       x > 0

  2. Encontre a equação da reta normal à curva y = 2 x - 3 e paralela à reta 9 x + 3 y - 5 = 0

Passo 1

NÃO TE APAVORAS, CÉTICO! Com jeitinho, vai dar certo. Partindo do pressuposto de que f é contínua em x = 0 , temos:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f 0 = lim x → 0 + ⁡ f ( x )

Da primeira igualdade, tentamos eliminar os diversos lugares que aparecem a incógnita a :

lim x → 0 - ⁡ x + a 2 - 4 a - arctan ⁡ 11 x = a - 1

⇒ lim x → 0 - ⁡ a a - arctan ⁡ 11 x + a ⋅ arctan ⁡ 11 x + x - 4 a - arctan ⁡ 11 x = a - 1

⇒ lim x → 0 - ⁡ a +   a ⋅ arctan ⁡ 11 x + x - 4 a - arctan ⁡ 11 x = a - 1

⇒ lim x → 0 - ⁡   a - arctan ⁡ 11 x ⋅ arctan ⁡ 11 x + arctan 2 ⁡ 11 x + x - 4 a - arctan ⁡ 11 x = - 1

⇒ lim x → 0 - ⁡ arctan ⁡ 11 x +   arctan 2 ⁡ 11 x + x - 4 a - arctan ⁡ 11 x = - 1

⇒ lim x → 0 - ⁡   arctan 2 ⁡ 11 x + x - 4 a - arctan ⁡ 11 x = - 1

⇒ - 4 a = - 1

⇒ a = 4

Tal que f 0 = a - 1 = 3 .

Passo 2

E ainda, de nossa segunda igualdade, extraímos:

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ b x ln ⁡ 1 + 100 x = 3

⇒ b lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ b x b x ⋅ x ln ⁡ 1 + 100 x = 3

⇒ b lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ b x b x lim x → 0 + ⁡ 1 ln ⁡ 1 + 100 x 1 x = 3           ( p r o d . )

Observe de cara que se b = 0 a igualdade a 3, não é possível originalmente. Logo, se tomarmos u = b x → 0 ± , temos:

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ b x b x = lim u → 0 ± ⁡ sin ⁡ u u = 1               ( l i m .   f u n d . )

Logo, a igualdade fica:

lim x → 0 + ⁡ 1 ln ⁡ 1 + 100 x 1 x = 3 b

⇒ lim x → 0 + ⁡ 1 100 ⋅ ln ⁡ 1 + 100 x 1 100 x = 3 b

Como a função 100 ⋅ ln ⁡ x - 1 é contínua para x > 0 ,   x ≠ 1 , podemos passar o limite para dentro de seu argumento:

100 ⋅ ln ⁡ l i m x → 0 + 1 + 100 x 1 100 x - 1 = 3 b

Substituindo t = 100 x → 0 + , temos:

100 ⋅ ln ⁡ l i m t → 0 + 1 + t 1 t - 1 = 3 b           ( l i m .   f u n d . )

⇒ 100 ⋅ ln ⁡ e - 1 = 3 b

⇒ 100 - 1 = 3 b

b = 300

Resposta

Assim, a = 4 e b = 300 .

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )