UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 4.1c
Discuta a continuidade de :
c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente discutir a continuidade da função que é definida por partes. E, galera, a continuidade pra funções de variáveis não tem nenhuma grande novidade em relçao à continuidade nas funções de uma variável.
Dizemos que uma função é contínua em um ponto se o limite for igual ao valor da função naquele ponto, ou seja:
Então, o que vamos fazer é calcular o limite no lugar onde a função tem uma indeterminação, que no caso é o ponto , e verificar se o limite existe e seu resultado é o mesmo da função naquele ponto.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar verificando se o limite de , para , tendendo ao ponto existe. Um dica: o fato do grau do numerador, que é , ser menor que o grau do denominador, que é , é um forte indício de que esse limite não existe. Então, vamos tentar calculá-lo por caminhos diferentes.
Escolhendo um caminho genérico através da reta , temos:
Colocando em evidência:
Simplificando:
Assim, quando tende a zero, temos:
Opa, então esse limite não existe! Se ele não existe, não é possível definir a função no ponto e dizemos que ela é descontínua na origem.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉