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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UFCG; Cálculo 1; Lista-1; Limites e continuidade; questão 17a

Verifique se a função abaixo é contínua no ponto a indicado

x + 3 ,   s e   x ≤ 1

4   s e   x > 1

onde a = 1

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é verificar se a função

x + 3 ,   s e   x ≤ 1

4   s e   x > 1

é contínua no ponto a = 1

Mas vocês lembram a definição de uma função ser contínua? Vamos revisar

Dizemos que uma função é contínua em um ponto x = a se

l i m x → a f ( x ) = f ( a )

Isto é, o valor da função no ponto é igual ao valor do limite naquele ponto.

Com isso em mente, vamos verificar se a nossa função é contínua

Passo 2

Queremos ver se a função abaixo é contínua no ponto x = 1

x + 3 ,   s e   x ≤ 1

4   s e   x > 1

Como falamos no passo 1, para ela ser contínua precisamos que

l i m x → 1 f ( x ) = f ( 1 )

Vamos calcular o limite primeiro. Para isso, precisamos dos limites laterais no ponto x = 1

Temos que como para x > 1 nossa f ( x ) = 4 temos

l i m x → 1 + f ( x ) = l i m x → 1 + 4

= 4

E o outro limite é:

l i m x → 1 - f ( x ) = l i m x → 1 - x + 3

pois para x ≤ 1 nossa f ( x ) = x + 3

= 4

Ou seja, chegamos a conclusão que os limites laterais são iguais. Logo o limite no ponto x = 1 está bem definido e vale

l i m x → 1 f ( x ) = l i m x → 1 - f ( x )

= 4

E além disso, temos que

f ( 1 ) = 4

Dessa forma, conseguimos mostrar que o limite da função no ponto x = 1 é igual ao valor da função naquele ponto. Isso implica que f é CONTÍNUA.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c o n t í n u a

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )