USP – Sem Campus –Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 - 2022.1 – 1
Considere a função dada pela expressão
- Se (), explique se é ou não contínua em ). Em seguida, calcule
- Explique se é ou não contínua em
Passo 1
Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Primeiro, vamos atrás dessa continuidade que é pedida no item a). Vocês sabem o método mais conveniente para acharmos continuidade? É fazendo o teste do limite. Relaxa que eu te mostro: Temos que ) é o quociente de 2 funções:
E
Ambas contínuas em . Então, para também ser contínua em com, a função deve satisfazer o seguinte teste
Isso implica tanto que existe no domínio de , como o Existe. Vamo lá provar?
Passo 2
Pois bora lá provar. Vamos pela definição, tomar o conjunto de retas que passam por um ponto ) como caminho para aproximação do ponto. O conjunto de retas é dado por: , como forma de aproximação para o nosso limite. Podemos então escrever:
Desenvolvendo isso:
Como o limite existe, isso caracteriza a continuidade da função em . Showzinho, item a) provado.
Passo 3
Agora para provar a segunda parte, vamos agir semelhantemente aqui no item b). Vamos tomar os conjuntos de retas que passam pelo ponto dados por como caminho para a aproximação do ponto :
Qual a conclusão que a gente obtém aqui? Como todo limite observado pela aproximação pro esse conjunto de retas é igual a 0, mas a função (como a questão disse pra gente) diz que nesse ponto a função assume valor . Ou seja, o valor que deveríamos encontrar pelo limite (que deu 0) é na verdade diferente (função assume valor 1 em (0,0)), portanto pode-se concluir que não é contínua em ).
E é isso! WE DID IT!!! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você