UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 7d
Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto
d)
Passo 1
Eaí pessoal, como vocês estão?
Nesse exercício recebemos uma função, de duas variáveis, definida por partes como:
Sobre essa função, vamos precisar avaliar se ela é contínua no ponto .
Sempre que precisamos verificar continuidade, seja em função de uma, duas variáveis (ou quantas variáveis o professor quiser complicar haha), devemos analisar se o limite da função naquele ponto é igual ao valor que a própria função assume. Ou seja:
Onde é o ponto que queremos verificar a continuidade.
Assim, como aqui esse ponto é , precisamos analisar se:
Perfeito!
Vamos então primeiro calcular esse limite e depois verificamos se ele é igual a .
Tranquilo?!
Passo 2
Precisamos calcular:
Mas, se é definida por partes, qual dos dois valores devemos utilizar no limite?
Bom, é definida como:
Já que estamos buscando avaliar o limite quando está tendendo a , ainda não estamos exatamente no ponto , mas próximo dele. Assim, e temos:
Ou seja, queremos calcular:
Massa!
Sempre o primeiro passo no cálculo de um limite é substituir os valores que e estão tendendo dentro dele. Fazendo isso:
Puts, uma indeterminação matemática! Precisamos usar algum outro meio pra calcular esse limite...
Passo 3
Então gente, algo importante quando se trata de limite de função de duas variáveis, antes de sequer calcularmos ele, é ter uma noção inicial se ele existe ou não. Pois, dependendo dessa noção, vamos atacar o problema de formas diferentes.
Uma ideia legal é comparar o expoente máximo do numerador e do denominador. Se o expoente do numerador for menor ou igual ao do denominador, é porque provavelmente esse limite não existe.
Já se ele for maior do que o do denominador é um indício de que provavelmente (é apenas um indício, não uma certeza) o limite existe.
No nosso caso, temos:
O expoente máximo do numerador é . Já no denominador, o expoente máximo ocorre no termo em , e vale . Ou seja, o expoente do numerador é menor do que o do denominador, sendo um indício de que esse limite não existe.
Sendo assim, vamos buscar encontrar o valor desse limite através de caminho diferentes.
Se esses valores forem diferentes, provamos que de fato o limite não existe.
Passo 4
Continuando pessoal, notaram que no denominador de:
os expoentes de e são diferentes?
Uma sacada muito boa quando isso acontece é escolher um caminho que deixa esses termos com o mesmo expoente, assim podemos somá-los.
Vamos fazer então :
Massa! Por esse caminho deu .
precisamos testar um novo caminho. Vamos então testar um outro qualquer, e buscando simplificar nossa vida, vamos fazer pelo caminho:
Assim:
Colocando em evidência no numerador e denominador:
Quando , esse limite vale:
Olha que legal!! Quando testamos, no passo , o limite pelo caminho , encontramos:
Já agora, quando testamos o valor do limite pelo caminho , achamos:
Qual é a conclusão que tiramoosss?
Isso aí, o limite não existe!
Passo 5
Então pessoal, lembra que falamos no passo que pra função ser contínua em precisaríamos ter:
Mas, como vimos no passo anterior, o limite de em sequer existe!
Essa igualdade não pode ser verdadeira.
Portanto, a conclusão que chegamos é que não é contínua em .
Prontinho pessoal! Vocês conseguiram entender tudinho?
Curtiram a solução? Responde Aí!
Resposta
Não é contínua.