UnB – Cálculo 1 – P1 – Questão 3
Considere a função
- Calcule o limite
- Determine as constantes e para que seja derivável em
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Temos uma função definida por partes
No primeiro item o problema pede para calcular aquele limite . Então é substituir a função (vamos usar a definição debaixo, pois queremos e , e como tende a zero, mas é positivo, temos que )
Tudo bem até aqui?
E no segundo item o problema pede para determinarmos as constantes e de forma que a função seja diferenciável em . E aqui uma pergunta de milhões: você lembra das condições para uma função ser diferenciável?
Para que uma função seja diferenciável:
- Deve ser contínua, isto é, ter os limites laterais iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto
- E também as derivadas laterais devem ter o mesmo valor entre si e diferentes de
A ideia aqui é usar esses critérios, aplicando na função, para encontrar o que se pede
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?
Vamos começar?
Passo 2
- Nossa função é
Precisamos calcular esse limite aqui
Como expliquei ali no passo , vamos usar a definição , pois . Assim
Beleza? Agora vamos substituir!
Podemos simplificar por e avaliar o limite
Beleza?
Passo 3
(b): agora precisamos determinar de forma que a função
Então antes de mais nada, ela precisa ser contínua em :
Calculamos no passo anterior
Agora vamos calcular o limite pela esquerda (já que o limite pela direita é também – você pode verificar isso como exercício!)
E para que seja contínua
Outro critério é ela ter derivadas laterais iguais entre si. Então vamos derivar as duas partes, aplicar em e igualar os resultados
Pela esquerda
Pela direita
Aplicando em e igualando os resultados
Mas temos que pela condição de continuidade, assim
E tá aí! Achamos nossas constantes
Com elas nossa função não só é contínua, como também diferenciável em !
Tudo bem? É isso, terminamos! Espero ter ajudado!