Considere a função f : - π , π → I R definida por

f x = 1 - cos ⁡ x s i n ²   x   ,     s e   x ≠ 0 β ,     s e   x = 0

O valor de β para que f seja contínua em x = 0 é:

  1. 2
  2. 1 2
  3. 2 3
  4. 1 4

Passo 1

Definir a condição para uma função ser contínua

Beleza, antes de mais nada, vamos lembrar: quando mesmo que uma função é contínua? Saca só:

Então pra ficar bem claro, a gente pode entender as funções contínuas como funções em que a gente não tira o lápis do papel pra desenhar. Pra nossa querida e amada f x poder ser desenhada assim, seja:

f x = m x   ,     s e   x ≠ 0 n x ,     s e   x = 0

Vamos ter que fazer:

m 0 = n 0

Passo 2

Resolver a condição de continuidade

Show de bola, vamos lá. Primeira coisa pra se fazer é substituir

m x = n x

1 - cos ⁡ x s i n ²   x = β

E agora aplicar o x = 0 :

1 - cos ⁡ 0 s i n ²   0 = β

0 0 = β

Opa, problema aí: 0 0 ? Isso não pode! Vamos então reescrever da seguinte forma:

s i n ²   x = 1 - c o s ²   x = 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Ficaremos então com:

1 - cos ⁡ x s i n ²   x = β

1 - cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = β

1 1 + cos ⁡ x = β

E agora sim podemos substituir x = 0 , saca só:

1 1 + cos ⁡ 0 = β

1 1 + 1 = β

β = 1 2

Resposta

L e t r a   B

β = 1 2

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