- Determine os possíveis valores de , e que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar de uma coisinha:
Para a função ser continua, os seus limites laterais tem que ser iguais entre si e iguais à função no ponto, ou seja,
Onde , neste caso, são justamente pontos onde a função muda de comportamento.
Agora repara que os pontos e são, justamente, os pontos em que a função muda de comportamente.
(Nos outros pontos não precisamos analisar, porque as 3 funções são polinomiais e funções polinomiais são contínuas. A primeira só é descontínua em , que zera o denominador, mas esse já é um dos pontos que a gente vai olhar).
Em outras palavras, vamos ter que avaliar esses limites laterais para encontrar quem é e .
Passo 2
Começando por .
Para valores menores que , a função tem esse comportamento . Então vamos fazer,
Repara que caímos em uma indeterminação do tipo . Mas a gente consegue resolver, reescrevendo o nosso numerador assim:
Fica ligado, porque várias vezes a fatoração de polinômios é o que resolve as indeterminações.
Agora vamos olhar para valores maiores que , onde a função terá esse comportamento. Logo,
Para função ser continua, precisamos que os limites laterais sejam iguais
Podemos dizer que,
Opaaa, temos uma equação e duas icognitas! Então vamos avaliar a próxima condição para montar esse sistema.
Passo 3
Fazendo agora .
Temos que para valores menores que , a função tem esse comportamento . Então vamos fazer,
Agora vamos olhar para valores maiores que , onde a função terá esse comportamento . Logo,
E para função ser continua precisamos que os limites laterais sejam iguais
Podemos dizer que,
Agora vamos montar o sistema!
Passo 4
Juntando as duas informações temos que
Isolando da primeira linha, ficamos com
Substituindo na segunda linha, ficamos com
Logo,