UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 7c
Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto
c)
Passo 1
Ooi pessoal, tudo na paz com vocês?
Nesse item precisamos verificar a função é contínua no ponto .
é definida por partes do seguinte modo:
Para verificar se uma função de duas variáveis é contínua em um determinado ponto precisamos analisar se a seguinte igualdade é verdadeira:
Onde é justamente o ponto que queremos ver se a função é contínua.
Então, nossa estratégia aqui vai ser primeiro calcular o limite do lado esquerdo da equação acima no ponto e verificar se ele é igual a . Beleza?
Passo 2
Bom, queremos calcular:
E, a primeira pergunta que nos fazemos é qual a expressão que assume quando ?
Então, a nossa função é definida por partes:
Quando está tendendo a , esse ponto ainda não foi atingido de fato. Assim, vale:
Portanto, o limite que devemos calcular é:
Pra calcular esse limite, o primeiro passo é substituir os valores que estão tendendo dentro do limite e verificar se tem alguma impossibilidade matemática.
Isso é uma indeterminação matemática. Então, pra calcular o limite vamos precisar pensar um pouco mais...
Passo 3
Bom, continuando o cálculo do limite, já que caímos em uma indeterminação matemática o que podemos fazer pra calculá-lo?
Uma ideia bem legal no caso de limites de função de duas variáveis é usar o teorema do sanduíche.
A ideia do teorema do sanduíche é, inicialmente, mostrar que:
Isso válido sempre, pra quaisquer valores de
Para a nossa função que está sendo analisado o limite, temos:
Bora analisar com calma. Vocês concordam que:
Desenvolvendo um pouco:
Multiplicando ambos os lados por :
(Se as desigualdades se invertem, mas nossa função continua limitada entre esses dois valores, beleza?)
Olha aí gente, conseguimos mostrar que nossa função está limitada entre outras duas!
Essa é a primeira etapa do Teorema do Sanduíche.
Passo 4
Agora precisamos apenas aplicar o limite, pois conhecemos o valor que essas funções e ) assumem quando e tendem a zero).
Assim, aplicando o limite dos dois lados da desigualdade:
Mas olha:
Enquanto:
Também vale zero. Olha que lindo!
Então, quando voltamos à nossa desigualdade, vamos ter que:
Isso significa queeee??
Isso aí:
Passo 5
Pra finalizar, precisamos apenas calcular e verificar se é igual ao .
Como vimos, nossa função vale:
Sendo assim, quando , temos:
Além disso, no passo anterior chegamos que:
Ou sejaaa:
Isso significa que a nossa função é contínua em .
Eaí, conseguiram entender direitinho? Até a próxima 😊
Resposta
É contínua.