Considere a função f : I R → I R definida por:

f x = a ,     s e   x = 0 sin ⁡ x x - 2 3 x ,     s e   x ≠ 0

(a) Determine o valor de a ∈ I R para que f seja contínua em x = 0

Passo 1

Opa, bora começar então! Veja vem, temos uma função definida por partes, não é mesmo? Bem, pra qualquer função contínua, vai ser sempre verdade:

lim x → c - ⁡ f x = lim x → c - ⁡ f x = f c

Então pra encontrar um valor de a que faça essa função ser contínua em x = 0 , basta a gente substituir c = 0 . Vamos ter:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x = f 0

Como os limites laterais são os mesmos, podemos simplificar ainda mais:

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

E agora é mole! Só substituir e fazer as contas:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x - 2 3 x = a

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x ∙ lim x → 0 ⁡ x - 2 3 = a

Sendo o primeiro o limite fundamental trigonométrico, temos:

1 ∙ - 2 3 = a

a = - 2 3

E prontinho! Esse é o valor de a para que f x seja contínua

Resposta

a = - 2 3

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