UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – AV1 – 2022.2 – Questão 4.
4) Determine os valores das constantes e , de tal forma que a função definida por:
Seja continua no intervalo
Passo 1
Faaaaala aí! Tudo certinho por aí?
Bora comigo pra mais uma questão!
Bom, a primeira coisa é entender o que o enunciado está querendo que a gente faça. Nesse caso ele traz uma função que é dada por partes.
Mas o que isso significa???
Isso quer dizer que em cada intervalo apresentado a função terá uma carinha diferente, veja:
Para valores de , a função deve assumir essa carinha aqui:
Para valores de onde , ela já assume a forma:
E para valores de , a função é:
O problema pede para que a gente encontre os valores de e de de modo que seja uma função contínua no intervalo Isso quer dizer que não pode haver saltos nem buracos no gráfico da função. Assim, onde termina um intervalo, deve já começar o outro no mesmo ponto.
Com essa ideia, seremos capazes de descobrir quem é e quem é . Vem comigo que te mostro como. 😊
Passo 2
Como vimos, no ponto onde termina um intervalo, já logo tem que começar o outro. Isso quer dizer que os extremos serão coincidentes.
Para o primeiro intervalo da função, temos que . Ou seja, os valores de vêm lá do e para em . E a função na fronteira do intervalo será igual a:
Já o segundo intervalo é , ou seja, as fronteiras são e 5, e a função assume o valor de:
Como queremos que a função seja contínua, as fronteiras precisam ser iguais, por isso vamos igualar as funções em
E para o extremo inferior ficamos com:
Agora vamos ver o valor na função no último intervalo, que é para valores de , a função é:
E também podemos igualar os extremos no ponto , ficando com:
Essas relações ajudam a gente a obter um sistema que vamos resolver no próximo passo.
Passo 3
Até aqui fomos capazes de ver que:
Agora basta resolver o sistema, fazendo
Substituindo na equação de baixo, ficamos com:
Voltando para encontrar , teremos:
E assim concluímos mais uma questão.
Partiu olhar a próxima!!! 😊