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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Questão 1:

  1. Calcule o seguinte limite:

    2. lim x → 0 ⁡ x 2 + 9 - x + 9 5 x

  2. Seja a um número diferente de z e r o . Calcule o seguinte limite:

    3. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x a x

  3. Determine valores de a , b de modo a que a função f seja contínua em x = 0 , onde

f x = x 2 + 9 - x + 9 5 x             s e           x > 0 sen ⁡ 3 x a x                                                   s e           x < 0 b                                                                             s e           x = 0

Passo 1

a )

Para calcular esse limite, vamos primeiro pensar um pouco

lim x → 0 ⁡ x 2 + 9 - x + 9 5 x

Se substituirmos diretamente o x = 0 nesse limite, o que acontece?

lim x → 0 ⁡ 0 + 9 - 0 + 9 0 = lim x → 0 ⁡ 0 0

Cuidado, pois 0 / 0 não é 0 , e sim uma indeterminação. Ou seja, tudo pode acontecer.

Quando temos esse tipo de indeterminação e temos uma soma de raízes, o que sempre podemos pensar é multiplicar pelo conjugado da soma de raízes...

lim x → 0 ⁡ x 2 + 9 - x + 9 5 x ⋅ x 2 + 9 + x + 9 x 2 + 9 + x + 9

No caso, multiplicar e dividir neh, para não alterar o valor. Bora lá fazer esse algebrismo e verificar se vai ajudar em alguma coisa?

Passo 2

Realizando esse produto lá em cima lembrando que a + b a - b = a 2 - b 2 ...

lim x → 0 ⁡ x 2 + 9 - x + 9 5 x ⋅ x 2 + 9 + x + 9 x 2 + 9 + x + 9 =

lim x → 0 ⁡ x 2 + 9 2 - x + 9 2 5 x x 2 + 9 + x + 9 = lim x → 0 ⁡ x 2 + 9 - x + 9 5 x x 2 + 9 + x + 9 =

lim x → 0 ⁡ x x - 1 5 x x 2 + 9 + x + 9 =

Cortando esse x (normalmente isso é um bom sinal)

lim x → 0 ⁡ x - 1 5 x 2 + 9 + x + 9 =

Agora, se substituirmos o ponto x = 0 ...

lim x → 0 ⁡ 0 - 1 5 0 + 9 + 0 + 9 = - 1 5 3 + 3 = - 1 30

Viu só?

Passo 3

b )

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x a x

Esse limite aqui está com muita cara de limite trigonométrico fundamental ( lim b → 0 ⁡ sen ⁡ b b = 1 ).

Se multiplicarmos por 3 e dividirmos ao mesmo tempo...

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x a x ⋅ 3 3 = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x ⋅ 3 a =

Como 3 a é uma constante...

3 a lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x =

Se chamarmos 3 x = b , quando x vai a 0 , b , também vai...

3 a lim b → 0 ⁡ sen ⁡ b b = 3 a

Passo 4

c )

Bem, para uma função ser contínua em um ponto, o limite de quando x tende a esse ponto pela direita...

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ x 2 + 9 - x + 9 5 x

Tem que ser igual ao valor da função naquele ponto...

lim x → 0 + ⁡ x 2 + 9 - x + 9 5 x = f 0 = b

- 1 30 = b

Além disso, o limite de quando a função tende ao ponto pela esquerada...

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 3 x a x

Também é igual a função no ponto...

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 3 x a x = b = - 1 30

Como já vimos...

3 a = - 1 30         →           - a 30 = 3         →               a = - 90

Sacou?

Resposta

a ) - 1 30

b )   3 a

c )       a = - 90         e             b = - 1 30

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
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Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )