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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UFES, 2018.1, Lista 3, Q13

13) Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x = x 2 + 1   x 6 + x 2 + 2 em qualquer x ∈ R

Passo 1

Eaí galera, vamos matar mais uma questãoo?!

Bom, para verificarmos se essa função é contínua precisamos verificar se as funções no denominador e numerador são contínuas também. Ou seja, temos que pensar se existem pontos potenciais no domínio dessas funções que poderiam nos causar problemas. Pela forma de f ( x ) , podemos pensar em dois casos:

  1. Se o denominador zerar, ou seja, se para algum valor de x tivermos x 6 + x 2 + 2 = 0  
  2. Se para algum valor de x , tivermos x 2 + 1 < 0 , pois teríamos problema na raiz.

Passo 2

Vamos começar pela primeira condição. O que notamos ao observar o denominador, é que o seu polinômio possui x sempre elevado a coeficientes positivos. Isso significa que, independentemente do valor de x ∈ R , p x = x 6 + x 2 ≥ 0 . Logo, nós podemos ir ainda mais além e afirmar que:

p D x = x 6 + x 2 + 2 ≥ 2 > 0 para todo x ∈ R

Que bom, a primeira condição foi satisfeita! 😊

Passo 3

Vamos agora analisar a segunda condição. O raciocínio é bem parecido, pois q x = x 2 + 1 possui x elevado a um coeficiente positivo. Assim, novamente podemos afirmar que:

q x = x 2 + 1 ≥ 1 > 0   para todo x ∈ R

Excelente! As duas condições foram satisfeitas, por isso tanto a função do numerador como a do denominador são contínuas, e podemos afirmar que f x = x 2 + 1 x 6 + x 2 + 2   é contínua em todos os Reais.

Resposta

f x =   x 2 + 1 x 6 + x 2 + 2 é contínua para todo x ∈ R

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )