IME, 2020, VE1, Q4A
Seja
- Determine se é contínua no ponto ).
- Determine se é diferenciável no ponto (0,0).
Passo 1
Falem meus consagrados! Essa questão envolve um pouquinho mais de teoria, mas segue um passo a passo que nem as outras.
Uma função f é contínua em um ponto p, se
Ou seja, se o limite da função tendendo a um ponto é igual ao valor da função neste ponto.
Fora da origem a função é contínua, pois em frações de função, sendo o numerador uma função contínua e o denominador uma função contínua não nula, então a fração por si só é contínua.
Passo 2
Pra gente descobrir o limite dessa função na origem, eu vou fazer uma sacada aqui meio louca, mas presta atenção. Vou pegar uma função parecida com a nossa , mas com no numerador. E vou fazer isso, porque eu sei que essa função está restrita ao seguinte intervalo:
Agora vou multiplicar tudo por , porque desta forma, vamos chegar à nossa que o enunciado deu. E vou fazer essa multiplicação, considerando que e o ponto na vizinhança de :
E agora você repara que:
Então, pelo Teorema do Confronto:
Então repara que fizemos toda essa manipulação pra poder usar o Teorema do Confronto. Fica ligado porque é bem comum ter que fazer algo desse tipo: restringir uma função parecida a um intervalo conhecido e depois multiplicar por algum termo, de forma que a gente chegue à nossa função original no meio da inequação e que os extremos da inequação possuam limites iguais.
Vamos fazer de novo agora pros valores negativos de y!
Passo 3
Novamos temos que:
Multiplicando tudo por , para , com na vizinhança de , temos:
Percebemos que
E pelo Teorema do Confronto,
Passo 4
Se os limites laterais são iguais, podemos afirmar que:
E o limite é igual ao valor da função na origem:
Ou seja, além de ser contínua fora da origem, é contínua também em , logo é contínua em .
Resposta
é contínua em .