1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam contínuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.
  1. f x = a x 2 + 2 x ,   s e   x < 2 x 3 - a x ,   s e   x ≥ 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar de uma coisinha: paraa função ser continua temos que:

lim x → k ⁡ f x = lim x → k + ⁡ f x = lim x → k - ⁡ f x

Como em x = 2 é um ponto em que a função muda de comportamento. Vamos ter que avaliar esses limites laterais nesse ponto para encontrar quem é a .

Passo 2

Começando por lim x → 2 - ⁡ f x .

Temos que para valores menores que 2 , a função tem esse comportamento a x 2 + 2 x . Então vamos fazer,

lim x → 2 - ⁡ a x 2 + 2 x = a 2 2 + 2 2 = 4 a + 4

Agora vamos olhar para valores maiores que 2 , onde a função terá esse comportamento x 3 - a x . Logo,

lim x → 2 + ⁡ x 3 - a x = 2 3 - a 2 = - 2 a + 8

E para a função ser contínua

lim x → 2 - ⁡ a x 2 + 2 x = lim x → 2 + ⁡ x 3 - a x

Podemos dizer que,

4 a + 4 = - 2 a + 8

Agora podemos encontrar quem é a !

Passo 3

Calculando,

4 a + 4 = - 2 a + 8

6 a = 4

a = 2 3

Prontinho!

Resposta

a = 2 / 3

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