UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP - Lista 3 - Limite e Continuidade. Questão 35
Seja uma função definida em ℝ e suponha que existe tal que para todo . Prove que é contínua em .
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
O enunciado nos indica uma função definida em ℝ, se tivermos uma constante positiva , que garante
para qualquer que você escolher. Temos que mostrar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos lembrar a definição de continuidade em um ponto na seguinte forma
Vamos tentar reescrever a relação dada no enunciado de forma que possamos usar a definição de continuidade! Saca só!
Passo 2
Primeiro, note que a definição de continuidade pode ser escrita como
ou seja, se isso for verdade, temos que a função é contínua em , felizmente, temos que a definição de módulo permite escrever a seguinte relação
Isso é interessante, pois podemos calcular o limite em em todos os termos para obter
Como temos que é a função avaliada no ponto, ela não tem dependência em , portanto, podemos afirmar que
que é exatamente o lado esquerdo de nossa definição de continuidade! Agora, vamos usar o teorema do confronto para terminar a demonstração!
Passo 3
O teorema do confronto nos garante que se
temos que
Ou seja, só precisamos calcular os limites nos extremos da desigualdade! Ambas são bastante similares, note que
e, também que
Portanto, podemos garantir
ou seja, temos que
e a função é contínua em . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!