Calcule a constante para que a função abaixo seja contínua:
Passo 1
No domínio , temos uma constante e um cosseno, sendo sua composição uma função contínua. Já no domínio , a função é uma composição de funções contínuas, já que polinômios e senos são contínuos, a raiz ali tem seu argumento positivo ou nulo, pois é a raiz de um número negativo vezes , e o único ponto onde o argumento do seno é descontínuo é , onde muda a lei de formação e observaremos com mais calma agora.
Resumindo: A função é contínua em . Para ela ser contínua, basta que achemos que ela é contínua também em .
Sabemos que, para que a função seja contínua em , precisamos que:
Passo 2
Aplicando pela direita o limite, temos:
Como se trata de uma função contínua:
Pelo lado esquerdo, temos:
Se tentarmos aplicar propriedades de limites, teremos um problema. Distribuindo o limite pelas funções:
O que acontece aqui é que não conseguimos avaliar o limite de , pois:
E não possuímos nenhuma informação acerca de . Essa função não é definida à medida que o vai para infinito ou menos infinito. O único jeito de atacar esse problema é com o Teorema do Confronto:
Independentemente do argumento do seno, essa relação acima vale. Multiplicando tudo por :
Puxando o limite:
Como temos que:
Pois a raiz é uma função contínua. Então segue que:
Gerando que
Passo 3
Substituindo no limite original, pelas propriedades de limites:
Portanto, como os limites tem que ser iguais: