2) Considere a função definida como:
Determine o valor de para que tenhamos contínua em
Passo 1
Antes de qualquer coisa, vou te contar um segredo: módulos são assustadores. E enrolam um pouco a gente. Então vamos tirar eles daí pra entender melhor essa função. Da definição de módulo:
Primeiro para , vamos ter:
O que é o mesmo que:
Mas veja bem, como a lei de formação que envolve módulos está definida pra somente, nem precisamos nos preocupar com a expressão desse módulo! Ficamos então com:
Agora para , vamos ter:
O que é o mesmo que:
Como a lei de formação que envolve módulos está definida para , dessa vez precisamos nos preocupar com as duas partes desse módulo. A função vai ganhar na verdade uma quarta linha, ficando assim:
O que é o mesmo que:
Passo 2
Agora que nos livramos do módulo, podemos checar a continuidade. Pra isso, vamos calcular:
Porque o ? Bem, não tem nenhum problema no intervalo , isto é, está sempre definido nesse intervalo. O mesmo vale pra no intervalo e para no intervalo . O único ponto que resta dúvida é . Fazendo então os limites, temos:
Resolvendo esse limite, multiplicamos em cima e em baixo por e olha só o que acontece:
Opa, limite fundamental trigonométrico aparecendo aí em! Sendo assim, temos:
Agora pro outro limite, temos:
E por fim, como o próprio enunciado diz, temos:
No final das contas, temos:
Então a condição pra que a função seja contínua é que: