Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se h é descontínua no ponto x = c , então o limite lateral em lim x → c + ⁡ h ( x ) não existe.
  2. Se lim x → 1 ⁡ ( g x + f ( x ) ) existe, então lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe.

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. Nenhuma das afirmativas.
  2. Somente a afirmativa (II).
  3. Somente a afirmativa (I).
  4. As afirmativas (I) e (II).

Passo 1

Para provar que uma afirmação é falsa, é interessante tentar achar um contraexemplo, ou seja, um exemplo que reflete o contrário do que fora afirmado.

Para (I), podemos ter a seguinte função:

f x = 2 , x < 1 3 , x ≥ 1

Ela será descontinua em x = 1 , pois os limites laterais divergem, mas:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ 3 = 3

Mesmo sendo descontínua, o limite lateral existe. Então a afirmação é falsa.

Passo 2

Vamos tentar fazer o mesmo com a (II). Repare que:

lim x → 1 ⁡ x x - 1 → 1 0 = ∞

E:

lim x → 1 ⁡ - x 2 x - 1 → - 1 0 → - ∞  

Logo, os dois limites não existem. Porém:

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - lim x → 1 ⁡ - x 2 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x - x 2 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x 1 - x x - 1 = - 1

Que existe, assim afirmação é falsa também. Logo, a alternativa correta é a letra (a).

Resposta

Letra (a)

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )