Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

a) f x ,   y = x y x + y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é descontínua na origem e determinar se essa descontinuidade é essencial ou removível. Se for removível, definiremos um f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

Mas vamos por partes. Para que a função seja descontínua na origem, temos que o limite da função no ponto ( 0 ,   0 ) precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja,

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f ( x ,   y ) = f ( 0 ,   0 )

Se esse limite existir, teremos uma descontinuidade removível. Se o limite não existir, temos uma descontinuidade essencial.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar vericando a existência do limite:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f ( x ,   y ) = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x + y

Vamos tentar calcular esse limite usando diferentes caminhos que passam pelo ponto ( 0 ,   0 ) para ver se o resultado dos limites serão sempre iguais. Para isso, vamos usar uma reta genérica y = m x . Assim, substituindo no limite, temos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x ( m x ) x + ( m x )

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 m x + m x

Colocando x em evidência e simplificando:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x m x 1 + m

= lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ m ( 1 + m ) = m ( 1 + m )

Como o resultado depende sempre de m , significa que por diferentes caminhos teremos diferentes valores para o limite. Isso contraria a definição de limite, portanto, podemos dizer que o limite não existe. E como o limite não existe, temos uma descontinuidade essencial.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e s c o n t i n u i d a d e   e s s e n c i a l

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