UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 4.3a
Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina tal que remova a descontinuidade.
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é descontínua na origem e determinar se essa descontinuidade é essencial ou removível. Se for removível, definiremos um tal que remova a descontinuidade.
Mas vamos por partes. Para que a função seja descontínua na origem, temos que o limite da função no ponto precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja,
Se esse limite existir, teremos uma descontinuidade removível. Se o limite não existir, temos uma descontinuidade essencial.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar vericando a existência do limite:
Vamos tentar calcular esse limite usando diferentes caminhos que passam pelo ponto para ver se o resultado dos limites serão sempre iguais. Para isso, vamos usar uma reta genérica . Assim, substituindo no limite, temos:
Colocando em evidência e simplificando:
Como o resultado depende sempre de , significa que por diferentes caminhos teremos diferentes valores para o limite. Isso contraria a definição de limite, portanto, podemos dizer que o limite não existe. E como o limite não existe, temos uma descontinuidade essencial.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉