Considere a seguinte função dada por:
Os valores reais de e que tornam contínua são:
- e
- e
- e
- e
- e
Passo 1
Vamos lá. A questão quer saber valores de e pra que seja contínua. Beleeeza então. Como a questão é definita por partes e é o ponto que separa as leis de formação, vamos ter que:
Se isso aí for verdade, então sim nossa função é contínua! Partiu então calcular cada um dos limites:
Passo 2
Calculando
Nesse limite, queremos por valores menores que . A lei de formação que vale pra é:
Então vamos calcular:
Vamo que vamo. A primeira coisa a notar é que se substituirmos, vamos ter uma indeterminação, saca só:
Então não vai rolar calcular o limite direto. Vamos reescrever esse limite então. A começar pelo numerador. E opa, perai, um polinômio de segundo grau? Issai cheira à resolução por Bháskara em! Nesse caso, seja:
Podemos reescrever para
Onde são as raízes do polinômio, dadas por:
Temos então:
As raízes vão ser então:
O polinômio de segundo grau fica:
Pro denominador agora, temos uma diferença de quadrados! Esse aí sai pelo produto notável:
Sendo assim:
Podemos reescrever o limite pra:
E agora sim a indeterminação sumiu! Aplicando o limite então, temos:
Passo 3
Calculando
Nesse limite, queremos por valores maiores que . A lei de formação que vale pra é:
Então vamos calcular:
De novo, se a gente substituir direto, dá indeterminação. Dá uma olhada:
Um truque pra resolver esse limite que parece meio complicadinho é pensar: vi seno ou cosseno, bora tentar reescrever pro limite fundamental trigonométrico. Então vamos lá! Se fizermos uma substituição:
Vamos ter que:
Nesse caso, como , então o sinal de negativo do acima some. Reescrevendo o limite, temos então:
Ok ok, a indeterminação não sumiu ainda, dá uma olhada:
Mas agora a gente tem uma nova estratégia: eliminar a raiz do denominador! Dessa forma acabamos ficando com um sem raiz no denominador. Pra isso a gente multiplica em cima e em baixo por ninguém mais e ninguém menos que o conjugado do denominador! Partiu então:
Da propriedade dos limites:
E olha ali! O limite fundamental trigonométrico finalmente apareceu! Como:
E
Fechamos o limite como:
Passo 4
Juntando tudo
Bem, já calculamos os dois limites, vamos agora juntar tudo. Seja:
Então:
Fazendo as contas, tiramos então que
A letra com essa resposta é a Letra A!
MACETE MAROTA: Se você não calculasse , acharia somente . Ou seja, o produto seria igual à . Por eliminação, a letra A é a única que dá isso!