Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Continuidade

Ver Teoria
Exercício 951234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939496979899100

Enunciado

6. Considere a função

f x = 2 x 3 - 2 3 x 2 - 3 ,   s e   x < 1 α ,   s e   x = 1 β x 2 - 1 x - 1 ,   s e   1 < x < 2 γ x 2 + 1 2 x ,   s e   x ≥ 2

Encontre valores reais para α , β e γ tais que a função f seja continua nos pontos x 0 = 1 e x 0 = 2 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função contínua e precisamos achar quem são α , β e γ tais que a função f seja continua nos pontos x 0 = 1 e x 0 = 2 .

Para descobrir quem são esses valores, vamos usar a definição de continuidade. Para quem não lembra, temos que uma função é contínua num ponto x = a quando:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f a

Onde a neste caso será o ponto onde a função muda de cara, ou seja, será os nossos x 0 .

Bora aplicar!

Passo 2

Vamos começar fazendo, x 0 = 1 . Aplicando a definição de limite ficamos com

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - 2 3 x 2 - 3 = f 1

Ou seja,

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - 2 3 x 2 - 3 = α

Resolvendo esse limite caímos em uma indeterminação,

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - 2 3 x 2 - 3 = 0 0

Mas repara que podemos reescreve-lo assim,

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - 2 3 x 2 - 3 = lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - 1 3 x 2 - 1

Podemos ainda fazer

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - 2 3 x 2 - 3 = lim x → 1 ⁡ 2 x - 1 x 2 + x + 1 3 x - 1 x + 1

Simplificando,

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - 2 3 x 2 - 3 = lim x → 1 ⁡ 2 x 2 + x + 1 3 x + 1

Substituindo,

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - 2 3 x 2 - 3 = lim x → 1 ⁡ 2 1 2 + 1 + 1 3 1 + 1 = 1

Logo,

α = 1

Passo 3

Para determinar β , temos que

lim x → 1 ⁡ β x 2 - 1 x - 1 = f 1

Mas agora já sabemos que

f 1 = α = 1

Logo,

lim x → 1 ⁡ β x 2 - 1 x - 1 = 1

Repara que podemos reescrever o limite assim

lim x → 1 ⁡ β x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ β x - 1 x + 1 x - 1 = 1

Simplifcando, lim x → 1 ⁡ β x + 1 = 1

Ou seja,

β 1 + 1 = 1

β = 1 2

Passo 4

Agora vamos partir para x 0 = 2 . Para isso vamos fazer os limites laterias em torno de 2 . Ou seja,

lim x → 2 - ⁡ β x 2 - 1 x - 1 = lim x → 2 + ⁡ γ x 2 + 1 2 x

Como já sabemos que β = 1 2 , vamos calcular o limite pela esquerda

lim x → 2 - ⁡ β x 2 - 1 x - 1 = lim x → 2 - ⁡ 1 2 x 2 - 1 x - 1 = 3 2

Logo,

lim x → 2 + ⁡ γ x 2 + 1 2 x = 3 2

Com isso, ficamos com

γ 2 2 + 1 2 2 = 3 2

γ = 5 6

Fim!!!

Resposta

α = 1

β = 1 2

γ = 5 6

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )