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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

4. Considere a função f dada por

f x = e x 2 + 1 sin ⁡ π x - ln ⁡ x 2 + e cos ⁡ π x

  1. Mostre que f é continua para todo x real.
  2. Mostre que f tem pelo menos uma raiz real.

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui, primeiro nós temos que mostrar que f é continua para todo número real. Para gente fazer isso temos que lembrar quais funções são continuas. Para quem não lembra, são essas aqui:

    2. - Polinômio

    - Exponencial

    - Logaritmo (para a r g u m e n t o s ≥ 0 )

    - trigonométrica (seno e cosseno)

    Agora repara que nossa f é um produto e subtração dessas funções que citamos acima. E presta atenção no que eu vou te falar agora! Quando combinarmos funções continuas, teremos como resultado outras funções continuas. Ou seja, nossa função f também é contínua.

    Mas, repara uma coisa: a função logarítmica só é continua quando o argumento for maior que zero. Logo nossa função será continua quando

    x 2 + e ≥ 0

    Como para qualquer x que substituirmos nessa equação teremos um valor maior que zero. Temos que f é continua para qualquer x .

    Passo 2

  2. Agora temos que mostrar que f tem pelo menos uma raiz real! Para isso, poderemos usar o Teorema do Anulamento. Então vamos escolher um intervalo de número qualquer e substituir nas funções.

Para facilitar os cálculos, vamos escolher x = 0 e x = 1 2 .

Para x = 0 , teremos

f 0 = e 0 2 + 1 sin ⁡ π . 0 - ln ⁡ 0 2 + e cos ⁡ π . 0

f 0 = - 1

Note que f 0 < 0 .

Agora vamos fazer x = 1 2

f 1 2 = e 1 2 2 + 1 sin ⁡ π . 1 2 - ln ⁡ 1 2 2 + e cos ⁡ π . 1 2

f 1 2 = e 5 / 4

Note que f 1 2 > 0 .

Como essa função é continua e tem sinais diferentes nos pontos escolhidos, podemos dizer que: pelo Teorema do Anulamento, f possui pelo menos uma raiz no intervalo 0 , 1 2 .

Em outras palavras, pra gente entender isso melhor, como a função é negativa em 0 e positiva em ½ (e é contínua), então isso quer dizer que ela cruza o eixo x neste intervalo, ou seja, tem uma raíz.

Resposta

Na resolução!

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )