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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

2. Use a continuidade das funções do exercício anterior para calcular os limites abaixo:

  1. lim x → 1 2 ⁡ arcsin ⁡ ( x 2 - 1 )
  2. lim x → π ⁡ 6 + sin ⁡ ( x + sin ⁡ x ) x 2 ⁡

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Agora precisamos calcular dois limites. Para quem pulou a questão 3, lá vimos que essas duas funções são continuas. Deste modo, podemos calcular os limites normalmente, como já estamos acostumados, pois pela definição, uma função é contínua num ponto x = a quando:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f a

Então bora lá!

Passo 2

  1. Primeiro temos o seguinte limite

    2. lim x → 1 2 ⁡ arcsin ⁡ ( x 2 - 1 )

    Substituindo,

    lim x → 1 2 ⁡ arcsin ⁡ x 2 - 1 = arcsin ⁡ 1 2 2 - 1

    lim x → 1 2 ⁡ arcsin ⁡ x 2 - 1 = arcsin ⁡ - 1 2

    lim x → 1 2 ⁡ arcsin ⁡ x 2 - 1 = - π 4

    Passo 3

  2. Agora temos

lim x → π ⁡ 6 + sin ⁡ x + sin ⁡ x x 2

Substituindo,

lim x → π ⁡ 6 + sin ⁡ x + sin ⁡ x x 2 = 6 + sin ⁡ π + sin ⁡ π π 2

Calculando,

lim x → π ⁡ 6 + sin ⁡ x + sin ⁡ x x 2 = 6 π 2

Resposta

a. - π 4

b. 6 π 2

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )