UFCG. Cálculo 1. Listas UAMat. Lista 2 Derivadas. Questão 17e.
17 – Derive.
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Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema temos apenas que calcular a derivada de uma função dada por .
Mas essa função é um pouco estranha, não é? Tem um no numerador, um no denominador... parece complicado.
Mas será que não existe nenhuma técnica que podemos aplicar nessa resolução? 🤔🤔
Quando temos que derivar uma fração de funções, quase sempre podemos usar o método do quociente.
Esse método é o seguinte... Dada uma função
E temos que calcular a derivada de , então aplicamos a fórmula.
Vamos aplicar esse método no nosso problema? 😁
Bora lá!
Passo 2
No caso, nosso e nosso .
Antes de substituir na fórmula, temos que obter os valores de e derivando essas funções.
Mas perceba que é uma função composta, já que dentro do , há um . Nesses casos, a derivada de uma função composta é obtida pela regra da cadeia, ou seja, a derivada de fora multiplicada pela derivada de dentro.
Por exemplo:
Então substituindo por na derivada de fora, temos
Pelo método da derivação polinomial, obtemos a derivada de , ou seja
Já a derivada de é obtida, pelo teorema fundamental do cálculo como
Substituindo os resultados em e voltando para , temos
Entendeu essa parte? 🤔
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada de , ou seja
Novamente temos uma função composta com contida dentro do .
Então pela regra da cadeia, temos que
Pelo método de derivação polinomial, a derivada de é dada por
Já a derivada de é dada, pelo teorema fundamental do cálculo, como
Fazendo as substituições dos resultados em e substituindo por de volta...
Como , então...
Com e obtidos, vamos substituir em
Organizando um pouquinho...
E essa é a derivada que estávamos procurando!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
