UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Listas - Teste 9 - Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 2 - Derivadas - Questão 20 - Alternativa e)
Derive:
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função
Essas funções que tem uma coisa elevada a outra é sempre conveniente derrubar o que está no expoente, mas como??? Existe uma propriedade do logaritmo que é bem útil, lembre que
Se usarmos isso em conjunto com a regra da cadeia! Temos um bom caminho para resolver a questão! Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados na equação (1), temos que
Usando a propriedade do logaritmo temos que
Agora, se derivarmos de ambos os lados, temos que
Hmmm… não é exatamente o que queríamos! Mas ainda podemos reescrever isso um pouquinho repetindo o que fizemos anteriormente, consegue enxergar? Antes disso, vamos resolver um pouco a derivada do lado esquerdo!
Passo 3
Qual o problema com o lado esquerdo de nossa derivada? Nós queremos a derivada de e não de , para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia
em que e . Portanto, usando que
podemos escrever que
Ou seja, nossa derivada original é da seguinte forma
Se isolarmos a derivada, temos que
Ótimo! Vamos guardar esse resultado por hora, e calcular a derivada que falta! Belezinha?
Passo 4
Temos que calcular a seguinte derivada
Ou seja, da mesma forma que inicialmente, queremos uma derivada de uma função da forma
Se usarmos o mesmo truque do logaritmo, podemos escrever o seguinte
E, calculando a derivada de ambos os lados, temos que
O lado esquerdo é idêntico ao que fizemos no passo anterior, portanto, podemos escrever que
Usando que , e isolando a derivada, temos que
Agora vamos voltar para a nossa derivada original! Belezinha?
Passo 5
Relembrando que
E, usando o que acabamos de calcular, temos que
Se aplicarmos a regra do tombo, temos que
E, podemos reescrever a nossa derivada final como
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!