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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFES, Cálculo I, Lista 8, 2018.1, questão 8a

Seja y = u cos 2 ⁡ ( u 3 ) .

(a) d y d u

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tranquilo por aí?

Nessa questão vamos calcular a derivada da nossa função em relação a variável u , beleza?

Primeiramente vamos aplicar a regra do produto.

f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

Derivando nossa função:

d y d u = d ( u cos 2 ⁡ u 3 ) d u

Nossa função f será u . Já nossa função g será cos 2 ⁡ u 3 .

Então pela regra do produto, teremos

d ( u ) d u cos 2 ⁡ u 3 + d ( cos 2 ⁡ u 3 ) d u u

( 1 ) cos 2 ⁡ u 3 + d ( cos 2 ⁡ u 3 ) d u u

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia em

d ( cos 2 ⁡ u 3 ) d u = 2 cos ⁡ u 3 ( cos ⁡ u 3 ) '

( cos ⁡ u 3 ) ' = - 3 u 2 sen ⁡ ( u 3 )

Logo

d ( cos 2 ⁡ u 3 ) d u = 2 cos ⁡ u 3 cos ⁡ u 3 ' = ( 2 cos ⁡ u 3 ) ( - 3 u 2 sen ⁡ u 3 )

Passo 3

Agora que calculamos a segunda derivada, podemos substituir na regra do produto

d ( cos 2 ⁡ u 3 ) d u u = 2 cos ⁡ u 3 - 3 u 2 sen ⁡ u 3 u = - 6 u 3 sen ⁡ u 3 cos ⁡ ( u 3 )

Logo, nossa derivada será:

cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 sen ⁡ u 3 cos ⁡ ( u 3 )

Prontinhoooo! Finalizamos!

Resposta

cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 sen ⁡ u 3 cos ⁡ ( u 3 )

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