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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 5, Questão 4q

Calcule a derivada

f ( x ) = x c o s ( x ) + 1 + 5 x t g ( x )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é calcular a derivada de

f ( x ) = x c o s ( x ) + 1 + 5 x t g ( x )

Para isso, vamos relembrar algumas regras de derivação

Regra da constante:

s e   f ( x ) = c ;   c ∈ R

⇒ f ' ( x ) = 0

Regra do produto:

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Regra da razão:

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Regra do polinômio

s e   f ( x ) = x n ,   n ≠ 0

⇒ f ' ( x ) = n x n - 1

regra da cadeia

s e   f ( x ) = g ( h ( x ) )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

Passo 2

Vamos derivar

f ( x ) = x c o s ( x ) + 1 + 5 x t g ( x )

Para isso, vamos calcular a derivada de x c o s ( x ) + 1 primeiro e depois de 5 x t g ( x )

Começando por x c o s ( x ) + 1

Agora, podemos usar a regra da razão

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Logo, sua derivada é

x - 1 / 2 ( c o s ( x ) + 1 ) / 2 + x 1 / 2 s i n ( x ) ( c o s ( x ) + 1 ) 2

E vamos usar a regra do produto para calcular a derivada de 5 x t g ( x )

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Logo, sua derivada é

5 t g ( x ) + 5 x s e c 2 ( x )

Então, pela linearidade da derivada temos que

f ' ( x ) =   x - 1 / 2 ( c o s ( x ) + 1 ) / 2 + x 1 / 2 s i n ( x ) ( c o s ( x ) + 1 ) 2 + 5 t g ( x ) + 5 x s e c 2 ( x )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

=   x - 1 / 2 ( c o s ( x ) + 1 ) / 2 + x 1 / 2 s i n ( x ) ( c o s ( x ) + 1 ) 2 + 5 t g ( x ) + 5 x s e c 2 ( x )

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