Derive a função:
Passo 1
Tem duas formas de fazer essa derivada, uma mais direta ao ponto e outra usando fórmulas. Fica a seu gosto qual você prefere, beleza? Mas relaxa que vamos ver as duas.
Vou, antes de tudo, dar uma desmembrada na função. Repara comigo, é como se ali estivessem escritas duas funções, observadas de fora pra dentro:
De modo que uma estaria dentro da outra, desta forma:
Reparou? Isso cai na Regra da Cadeia.
Passo 2
Vamos derivar então. Seguindo a regra da cadeia:
Isso vai dar:
No caso, eu vou ter que repetir essa Regra mais uma vez. Porque repara bem, é como se tivéssemos de novo uma função dentro da outra:
Fazendo a regra da cadeia de novo:
E cara, ainda não acabou! Vamos precisar aplicar a regra da cadeia mais uma vez (virou um combo isso aí rs)! Isso porque podemos enxergar a derivada que sobrou como:
E fazendo a regra da cadeia temos:
Passo 3
Agora chegamos na parte boa em que fechamos a questão, juntando tudo que vimos:
Chegamos à:
Passo 4
A outra forma da gente resolver é identificar logo todas as funções que estão dentro uma da outra. Aí acabamos montando uma fórmula bem grande. Veja bem:
Pode ser entendido como:
Se fizermos:
Como pra fazer regra da cadeia três vezes vamos precisar de todas as derivadas, temos:
Então mãos a obra, derivando uma primeira vez:
E não tem jeito, o carinha lá do final também vai ser derivado usando a regra da cadeia:
E uma terceira e última vez também tem que ser feita:
De forma que a derivada vai ficar:
Agora é só substituir já que sabemos todas as funções e suas derivadas. Pro primeiro termo dos quatro, temos com substituído por , logo:
No segundo termo, temos com substituído por , logo:
No terceiro termo, temos com substituído por , logo:
E pra finalizar sobrou só o já conhecido. Juntando tudo:
A derivada fica:
Eu sei, a questão foi meio grandinha. Mas confia: é tudo questão de ter a definição da Regra da Cadeia e as derivadas das funções importantes memorizadas e atenção na hora disso tudo. Com o tempo vem a prática, e você vai derivar tudo de olho fechado. ;)