UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Listas - Teste 9 - Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 2 - Derivadas - Questão 16 - Alternativa i)
Derive:
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função
Para isso vamos utilizar a regra da cadeia e algumas derivadas conhecidas! Consegue se lembrar quais são? Saca só!
Passo 2
Primeiro temos que a regra da cadeia é utilizada quando temos uma função composta da forma , de forma que a derivada desta função composta é
utilizando que e , temos que
Ou seja, agora temos duas derivadas relativamente mais simples de resolver! Vamos começar com a derivada mais extensa! Vem comigo!
Passo 3
Temos a seguinte derivada para calcular
como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, podemos escrever que
Ambas as derivadas são conhecidas! Se tiver interesse na demonstração você pode utilizar identidades trigonométricas juntamente com a regra do quociente, estas demonstrações são questões desta mesma lista de exercícios e está feito no site! Vamos utilizar o resultado conhecido direto! Tudo bem? Saca só!
Passo 4
Vamos lembrar a seguinte propriedade
Ou seja, podemos simplesmente tirar constantes para fora da derivada, isso faz com que tenhamos que
da mesma forma, temos que
A derivada da tangente e da secante podem ser demonstradas utilizando de identidades trigonométricas e a regra do quociente, são questões desta mesma lista de exercícios e a demonstração delas está no site! Aqui vamos utilizar como um resultado conhecido! Vem comigo!
Passo 5
Agora, se usarmos que
e, também que
Podemos escrever que ambas as derivadas serão
e
Vamos agora calcular a última derivada que falta e escrever nosso resultado! Bora lá!
Passo 6
Relembrando que queremos calcular
Utilizando o que obtemos no passo anterior, temos que
Agora, se lembrarmos que
Como temos que , podemos escrever nossa derivada final como
Ou, se evidenciarmos alguns termos em comum, temos que
Surpreendentemente podemos cortar o numerador e o denominador, e obtemos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!