Derive as funções abaixo:

c   f x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tg ⁡ x |

Passo 1

Temos aqui uma função composta. Há uma g x = ln ⁡ x por fora, e uma função h x dentro dela dada por sec ⁡ x + tg ⁡ x . Por definição, derivamos pela Regra da Cadeia a f x e ficaríamos assim:

S e   f x = g h x ,     f ' x = g ' h x h ' x

Vamos determinar g ' x e h ' x , derivamos as duas funções:

g ' x = ln ⁡ x ' = 1 x

h ' x = sec ⁡ x + tg ⁡ x ' = sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x

Passo 2

Agora vamos na fórmula que achamos para a Derivada de f :

f ' x = g ' h x h ' x = 1 sec ⁡ x + tg ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x

= sec ⁡ x tg ⁡ x + sec ⁡ x sec ⁡ x + tg ⁡ x = sec ⁡ x

Sim, o resultado ficou, por milagre, pequeno assim. É bom dizer, essa função do enunciado é a integral indefinida da secante, como provamos agora com essa derivação!

Resposta

f ' x = sec ⁡ x

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