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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 5, Questão 4j

Calcule a derivada

f ( x ) = e x c o s ( x ) s i n ( x ) + 3 x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é calcular a derivada de

f ( x ) = e x c o s ( x ) s i n ( x ) + 3 x

Para isso, vamos relembrar algumas regras de derivação

Regra da constante:

s e   f ( x ) = c ;   c ∈ R

⇒ f ' ( x ) = 0

Regra do produto:

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Regra da razão:

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Regra do polinômio

s e   f ( x ) = x n ,   n ≠ 0

⇒ f ' ( x ) = n x n - 1

regra da cadeia

s e   f ( x ) = g ( h ( x ) )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

Passo 2

Vamos derivar

f ( x ) = e x c o s ( x ) s i n ( x ) + 3 x

Para isso, vamos usar a regra da razão

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Mas antes disso, vamos calcular a derivada de

e x c o s ( x )

Usando a regra do produto, a derivada é dada por

e x c o s ( x ) - e x s i n ( x )

Então, como

f ( x ) = e x c o s ( x ) s i n ( x ) + 3 x

f ' ( x ) = ( e x c o s ( x ) ) ' ( s i n ( x ) + 3 x ) - ( e x c o s ( x ) ) ( s i n ( x ) + 3 x ) ' ( s i n ( x ) + 3 x ) 2

Calculando as derivadas

= ( e x c o s ( x ) - e x s i n ( x ) ) ( s i n ( x ) + 3 x ) - ( e x c o s ( x ) ) ( c o s ( x ) + 3 ) ( s i n ( x ) + 3 x ) 2

Juntando os termos, temos que

= - ( e x   ( c o s 2 ( x )   -   c o s ( x )   ( - 3   +   3 x   +   s i n ( x ) )   +   s i n ( x )   ( 3 x   +   s i n ( x ) ) ) ) ( s i n ( x ) + 3 x ) 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= - ( e x   ( c o s 2 ( x )   -   c o s ( x )   ( - 3   +   3 x   +   s i n ( x ) )   +   s i n ( x )   ( 3 x   +   s i n ( x ) ) ) ) ( s i n ( x ) + 3 x ) 2

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