Derive as funções dos exercícios 6 a 16 (se for conveniente, use derivação logarítmica)

12)

f x = log 2 ⁡ x 2  

Passo 1

Bem, antes de metermos bronca e derivarmos essa parada, temos que sair do logaritmo na base 2 , que não sabemos derivar, para a base e , ou seja, o logaritmo natural que sabemos derivar.

Essa transformação pode ser feita por uma mudança de base (propriedade mara dos logaritmos em que você pode tocar de uma base para outra):

f x = log 2 ⁡ x 2 = ln ⁡ x 2 ln ⁡ 2

Passo 2

f x = 1 ln ⁡ 2 ln ⁡ x 2

Para calcular a derivada desse cara, lembre-se de que 1 ln ⁡ 2 é constante e que precisamos aplicar a regra da cadeia...

A regra da cadeia nos pede para identificarmos uma função que está por fora, no caso o ln ⁡   , e uma função que está por dentro, o x 2 . Determinado, deriva a de fora e multiplica pela derivada mais interna:

f x = 1 ln ⁡ 2 ln ⁡ x 2                   →                     f ' x = 1 ln ⁡ 2 ln ⁡ x 2 '

f ' x = 1 ln ⁡ 2 1 x 2 ⋅ x 2 '

Passo 3

Calculando a derivada mais interna agora...

f ' x = 1 ln ⁡ 2 1 x 2 ⋅ x 2 ' →

f ' x = 1 ln ⁡ 2 2 x x 2   →

f ' x = 2 x ln ⁡ 2  

Resposta

f ' x = 2 x ln ⁡ 2

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