UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.7 – Questão P3
Sejam f e g funções e suponha que . Se , determine .
Passo 1
Oi, pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema deu essa função aqui
E pediu a derivada!
Sendo assim, queremos saber quem é
O problema é que o argumento da função são outras duas funções! Uma dentro da outra ainda! Isso significa que x é uma função composta!
Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia
A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta , a derivada dessa função é:
Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro
E é exatamente o que temos aqui!
Nossa função é a composição de duas outras funções:
Então a ideia aqui para achar a derivada de é aplicar a regra da cadeia!
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Vamos juntos?
Passo 2
Como comentei ali no passo anterior sobre a regra da cadeia.
Nossa função é , ou seja, e .
Aí a derivada de fica:
Beleza? E isso se aplica a qualquer valor de ! O problema pediu a derivada , mas poderíamos aplicar essa regra para qualquer outro valor.
Agora nosso problema passa a ser achar quem são
E
Passo 3
O problema pediu a regra da cadeia no ponto , então nossa regra da cadeia aplicada em é:
E se liga só nas informações que o problema nos dá:
Não temos a cara das funções e , então precisamos determinar os argumentos delas para identificar qual valor é o correspondente.
Então vou começar substituindo os argumentos de , de por (informação (4)) e da derivada de , de por (informação (5)).
Mas quem é aquele ? É a informação (2)!
Beleza?
Sendo assim, nossa resposta é
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?